Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przyłożeniu do niego endomorfizmu; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.
Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

DEFINICJE

Niech x będzie przestrzenią liniową nad ciałem K zaś T oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora przestrzeni spełniony jest warunek

,
gdzie jest pewnym skalarem, to x nazywa się wektorem własnym, a nazywa się wartością własną przekształcenia T.
Danej wartości własnej operatora T odpowiada zbiór:

nazywany podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej

gdyż tworzy on domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni X Jej wymiar nazywa się wielokrotnością wartości własnej.
Często zakłada się, że K jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolona, zaś na X określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że X jest pewną przestrzenią Banacha, a jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

WŁASNOŚCI

• Jeżeli T jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta X to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
• Jeżeli jest wartością własną operatora T to (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
• Liczba jest wartością własną operatora T wtedy i tylko wtedy, gdy operator nie jest różnowartościowy.
• Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
• Jeśli macierz A potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej V to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
• Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi V to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni

PRZYKŁADY:

Przestrzenie skończeniewymiarowe
Przekształcenie liniowe A skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy A nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.
Endomorfizmowi A na skończeniewymiarowej przestrzeni X odpowiada macierz kwadratowa A, a jej wartości własne są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego

gdzie I jest macierzą jednostkową.
Mając do dyspozycji wartości własne można obliczyć odpowiadające im wektory własne rozwiązując równania postaci

ze względu na wektory Xi. Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz A jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.
Równanie całkowe jednorodne Fredholma
Niech będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue'a na przedziale (a,b) oraz niech K(s,t) będzie będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

Można wykazać, że odwzorowanie dane wzorem

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy , to T jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.