Układy równań liniowych

Układ równań liniowych – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej[1]) równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu. Teoria układów równań liniowych jest działem algebry liniowej leżącej u podstaw nowoczesnej matematyki. Algorytmami obliczeniowymi zajmuje się dział nazywany numeryczna algebra liniowa, same zaś metody odgrywają ważną rolę w inżynierii, fizyce, chemii, informatyce i ekonomii. Częstokroć aproksymuje (przybliża) się bardziej skomplikowane układy równań nieliniowych (opisujące modele matematyczne, czy symulacje komputerowe) dużo prostszymi układami równań liniowych (tzw. linearyzacja). Układy równań liniowych rozpatruje się najczęściej nad ciałami (np. liczbami wymiernymi, rzeczywistymi, czy zespolonymi); choć ma to sens już w przypadku pierścieni (np. liczb całkowitych), to rozwiązywanie takich układów nastręcza znacznie więcej trudności (w szczególności oznacza to badanie modułów zamiast przestrzeni liniowych, zob. uogólnienia). W dalszej części przyjmuje się, że wszystkie współczynniki należą do ustalonego ciała.
Motywacje
W geometrii euklidesowej można rozpatrywać miejsca geometryczne wyznaczone przez dane dwie proste na płaszczyźnie – mogą one wyznaczać prostą, punkt lub nie wyznaczać żadnego miejsca geometrycznego; odpowiada im odpowiednio nieskończony zbiór elementów, zbiór złożony z pojedynczego elementu lub zbiór pusty. Wprowadzenie na płaszczyźnie układu współrzędnych umożliwia algebraizację tego zadania: proste zadane są za pomocą równań liniowych, zaś miejsce geometryczne wyznaczone przez te proste odpowiada zbiorowi elementów spełniających wszystkie równania jednocześnie.
Jeśli w układzie współrzędnych kartezjańskich proste zadane są równaniami

oraz

to ich jedyny punkt wspólny (x0,y0) ma współrzędne (2,3) co łatwo sprawdzić wprost:


To że jest to jedyny punkt wynika z faktu, iż proste te nie są równoległe. Zwyczajowo równania prostych zapisuje się bezpośrednio jedno pod drugim i spina klamrą:
nazywając je układem równań liniowych, zaś zbiór elementów spełniających każde równanie z osobna (odpowiadający punktom wspólnym prostych) – jego rozwiązaniami.

Rozwiązaniem układu równań x-y=-1 oraz 3x+y=9 jest para uporządkowana (2,3) gdyż podstawienie do równań poprzednika tej pary za x i jej następnika za y da dwie tożsamości.







Rozwiązania
Rozwiązaniem U nazywa się dowolny ciąg liczb ri który po podstawieniu za xj będzie spełniał każde z równań U. Układ, który nie ma rozwiązań, nazywa się sprzecznym; jeżeli zbiór rozwiązań układu jest niepusty, to nazywa się go niesprzecznym. Układ niesprzeczny, który ma jedno i tylko jedno rozwiązanie, nazywa się oznaczonym; układy o więcej niż jednym rozwiązaniu nazywa się nieoznaczonymi – w przypadku układów liniowych nad ciałami nieskończonymi (takimi jak liczby wymierne, liczby rzeczywiste, czy liczby zespolone) oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Wskazówkę co do ogólnej liczby rozwiązań układu daje już sama jego postać:
układ niedookreślony, który ma mniej równań niż niewiadomych, zwykle jest nieoznaczony;
układ nadokreślony mający więcej równań niż niewiadomych, zazwyczaj jest sprzeczny;
układ, który ma tyle równań co niewiadomych, często ma jedno rozwiązanie.
Przypadki te obrazują następujące wykresy dla układów równań liniowych dwóch zmiennych:

Zbiór rozwiązań dwóch równań liniowych o trzech zmiennych zwykle tworzy prostą (przestrzeń jednowymiarową).

Układ równań liniowych o trzech zmiennych określa zbiór płaszczyzn - dowolny ich punkt przecięcia (o ile istnieje) jest rozwiązaniem układu.