POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa:

zdarzenie losowe,
zdarzenie elementarne,
prawdopodobieństwo,
zbiór zdarzeń elementarnych.

Def. Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu eEjedną i tylko jedną liczbę X(e)=x nazywamy zmienną losową.
Przykład:
Z talii ciągniemy jedną kartę. Każdą kartę możnaponumerować, a więc można zdefiniować zmienną losową Xprzybierającą jedną z 52 wartości:x1 = 1, x2 = 2, . . . , x52 = 52.

TYPY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Def. Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli może przyjmować skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
Wartości zmiennej losowej skokowej (określane często jako punkty skokowe) będziemy oznaczać przez x1, x2,..., natomiast prawdopodobieństwa, z jakimi są one realizowane (określane jako skoki), oznaczamy przez p1, p2,...
Def. Zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeśli jej możliwe wartości tworzą przedział ze zbioru liczb rzeczywistych.
Dla zmiennej losowej typu ciągłego możliwe jest określenie prawdopodobieństwa, że przyjmuje ona wartość należącą do dowolnego zbioru jej wartości. Sposób rozdysponowania całej "masy" prawdopodobieństwa (równej 1) pomiędzy wartości, jakie przyjmuje dana zmienna losowa, określamy mianem jej rozkładu prawdopodobieństwa.

ZMIENNE LOSOWE DZIELIMY NA:

• CIĄGŁE; ZMIENNA PRZYJMUJE DOWOLNE WARTOŚCI Z OKREŚLONEGO PRZEDZIAŁU (W SZCZEGÓLNOŚCI CAŁY ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH)

• SKOKOWE (DYSKRETNE); ZMIENNA PRZYJMUJE DOWOLNE WARTOŚCI ZE ZBIORU PRZELICZALNEGO (NP. ZBIÓR LICZB CAŁKOWITYCH Z OKREŚLONEGO PRZEDZIAŁU)


OZNACZENIA (ANALOGICZNIE JAK PRZY CECHACH STATYSTYCZNYCH):

• DUŻE LITERY (X, T, U, ...) - ZMIENNA LOSOWA
• MAŁE LITERY (X, T, U, ...) - WARTOŚCI ZMIENNEJ LOSOWEJ

ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ

Założenia:
zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartość x1, x2,... z prawdopodobieństwami, odpowiednio p1, p2,... ,

prawdopodobieństwa p1, p2,... spełniają równość:
gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę n wielkości,

prawdopodobieństwo p1, p2,... spełniają równość:
gdy zmienna losowa X przyjmuje nieskończoną liczbę wartości.

Def. Zbiór prawdopodobieństw postaci: spełniających równość (1) lub (2) określamy mianem funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.
Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) określoną na zbiorze liczb rzeczywistych jako:

F(x)=P(X<=x)
Własności dystrybuanty

a. P(X ≤ a) = F(a)
b. P(X ≥ a) = − F(a)
c. P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a)

Rozkłady zmiennych losowych dyskretnych.

I.
Rozkład dwumianowy (binomialny, Bernoulliego) dotyczy eksperymentu, w wyniku którego możemyotrzymać tylko jedno z dwóch wykluczających się zdarzeń:A - sukces (z prawdopodobieństwem p) lub A¯-niepowodzenie (z pr. q = 1 − p),I dośw. elementarne powtarzane jest niezależnie n razy.I rzut monetą (orzeł lub reszka),I test grupy osób na pewną chorobę (osoba zdrowa lubchora),I ankieta poparcia dla premiera (ankietowany popiera lubnie popiera),I stany różnych telefonów w centralce zakładowej ozadanej porze (numer zajęty lub wolny).

II.
Rozkład PoissonaP(X = k) = e−λ λkk!, λ > 0, k = 0, 1, 2, . . .I rozkład graniczny dla rozkładu dwumianowego przyn → ∞, p → 0,I stosowany w rozkładzie zjawisk rzadkich, np.I liczba błędów typograficznych w książce,I liczba samochodów uczestniczących danego dnia wkolizjach drogowych w dużym mieście,I liczba konfliktów w dostępie do zasobów w siecikomputerowej w ciągu 1 godziny,I liczba błędów lekarskich popełnionych w miesiącu wcałym szpitalu.

Rozkład geometryczny

P(X = k) = (1 − p)k−1p, k = 1, 2, 3, . . .I rozkład opisujący sytuację gdy powtarzamy doświadczenieBernoulliego aż do uzyskania pierwszego sukcesu,I liczba rzutów monetą, aż do uzyskania pierwszego orła,I liczba prób wysłania pakietu pocztą elektroniczną,I liczba prób automatycznego załączenia siecienergetycznej lub systemu zasilania po awarii.