Metody ITERACYJNE

Metody iteracyjne służą do przybliżonego rozwiązywania układów równań. Rozwiązanie otrzymuje się w wyniku pewnego postępowania sekwencyjnego, przy czym w każdym jego kroku uzyskuje się przybliżenie szukanego rozwiązania. Punktem wyjścia jest odgadnięte pierwsze przybliżenie niewiadomych które można zapisać jako wektor «H«(0). Pierwszy krok algorytmu prowadzi do nowego wektora «H»(1).Po k krokach otrzymuje się wektor «H»(k) i następny krok prowadzi do «H»(k+1). Aby iteracja miała sens, proces musi być zbieżny, to znaczy kolejne wyrazy ciągu «H»(k) muszą zdążać do ścisłego rozwiązania wyjściowego układu równań, gdy k zdąża do nieskończoności. Do metod iteracyjnych należą: → schemat jawny, → schemat uwikłany, → Cranka-Nicholsona schemat, → Jacobiego metoda, → Gaussa-Seidela metoda, → metoda zmiennych kierunków.

Iteracyjna metoda Aitkena
Istnieje metoda obliczania wartości wielomianu Lagrange'a w zadanym punkcie, bez obliczania samego wielomianu interpolacyjnego. Służy do tego iteracyjna metoda Aitkena. Oznaczmy przez wielomian który w węzłach , ( ) przyjmuje wartości , :

Co można uogólnić jako:

Aby obliczyć wartość wielomianu interpolacyjnego opartego na n węzłach w dowolnym punkcie a różnym od węzłów, należy obliczyć wartość . Wszystkie wyniki niezbędnych obliczeń wygodnie jest umieścić w macierzy trójkątnej wraz z węzłami oraz ich wartościami (schemat taki nazywamy schematem Aitkena). Rozwiązanie takie jest dogodne zarówno podczas rachunków ręcznych, jak i maszynowych, gdyż podczas obliczania każdej wartości zawsze korzystamy z wartości położonych na lewo w tym samym rzędzie i powyższych.

Metoda Gaussa-Seidla
iteracyjna metoda numeryczna rozwiązywania układów równań liniowych. Stosowana jest głównie do rozwiązywania ogromnych układów równań postaci Ax = b, w których A jest macierzą przekątniowo dominującą. Równania tego typu, obejmujące tysiące a nawet miliony niewiadomych, występują powszechnie w numerycznych metodach rozwiązywania eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych, np. równania Laplace'a. Nazwa metody upamiętnia niemieckich matematyków: Carla Friedricha Gaussa i Philippa Ludwiga von Seidla Obecnie metoda Gaussa-Seidla ma charakter czysto akademicki. Dla małych układów równań dużo szybsze są metody bezpośrednie, np. metoda eliminacji Gaussa, natomiast dla ogromnych układów równań lepszą zbieżność zapewniają metody nadrelaksacyjne oraz wielosiatkowe (ang. multigrid).

Metoda Warda - Hale’a
jest metodą iteracyjną, umożliwiającą rozwiązanie równań sieci elektroenergetycznej w oparciu o układ równań nieliniowych wiążących ze sobą P,Q,U i O w każdym węźle. Odpowiednio zależnie od rodzaju węzła wybiera się także zmienne niezależne i zależne oraz przyjmuje część wielkości za znane. Podstawą rozpoczęcia procesu rozwiązywania równań jest przyjęcie rozwiązania wyjściowego (przybliżenie zerowe), z którego wyznacza się rozwiązania po pierwszym kroku iteracyjnym. Rozwiązanie to jest rozwiązaniem wyjściowym drugiego kroku iteracyjnego itd. Jeżeli proces iteracyjny jest zbieżny to kolejne rozwiązania są coraz dokładniejsze, proces przerywa się, gdy różnica między kolejnymi krokami iteracyjnymi jest dostatecznie mała.

Metoda Jacobiego
jest metodą iteracyjną i pozwala nam obliczyć układ n równań z n niewiadomymi Ax = b. Wektor x0 będący początkowym przybliżeniem rozwiązania układu będzie dany (zwykle przyjmuje się go jako wektor złożony z samych zer). Kolejne przybliżenia będziemy obliczać według następującego wzoru:
xn+1=Mx+Nb
gdzie M = I - NA, N jest pewną macierzą kwadratową, I to macierz jednostkowa (złożona z samych zer oprócz głównej przekątnej na której znajdują się jedynki). Macierz współczynników A rozłożymy na sumę trzech macierzy A = L + D + U, gdzie L jest macierzą w której znajdują się elementy których numer wiersza jest większy od numeru kolumny, D to macierz diagonalna z elementami tylko na głównej przekątnej, a U to macierz, w której znajdują się elementy których numery wiersza są mniejsze od numerów kolumny.
W metodzie Jacobiego przyjmiemy, że N=D-1, to wówczas M = -D-1(L+U). By zastosować tą metodę należy najpierw tak zamienić kolejność równań układu, aby na głównej przekątnej były elementy różne od zera. Macierz D-1 otrzymamy po podniesieniu do potęgi -1 wszystkich wartości na głównej przekątnej macierzy D. Metoda ta jest zbieżna dla dowolnego przybliżenia początkowego rozwiązania x0, jeśli promil spektralny -D-1(L+U) jest mniejszy od jeden (promień spektralny to największa wartość bezwzględna z wartości własnej macierzy). W przeciwnym wypadku nie dla każdego przybliżenia początkowego otrzymamy rozwiązanie układu.